問為田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。
〔此於徽術，當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百十三。淳風等按：依密率，當為田十畝二百五步八十八分步之八十七。〕
術曰：半周半徑相乘得積步。
〔按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。喝徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌析，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周喝涕而無所失矣。觚面之外，又有餘徑。
以面乘餘徑，則冪出觚表。若夫觚之析者，與圓喝涕，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。
此一週、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。週三者，從其六觚之環耳。以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。
不有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。
割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裏觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之跪股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之，下至秒、忽。又一退法，跪其微數。微數無名知以為分子，以十為分暮，約作五分忽之二。故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之跪弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，餘分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之跪股。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，餘三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之跪小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄之。開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之跪股。置上小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之跪小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，餘分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，餘分棄之，即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。
割四十八觚以為九十六觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之跪股。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九。
以減半徑，餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。
為之跪小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分棄之。開方除之，得小弦六分五釐四毫三秒八忽，餘分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽，以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。倍之，為分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分。以半徑一尺除圓冪，倍之，得六尺二寸八分，即週數。令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率。方冪二百其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。
案：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方喝外方之半。然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也。又令徑二尺與週六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶為微少也。晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內方尺而圓其外，庣旁九釐五毫，冪一百六十二寸，牛一尺，積一千六百二十寸，容十鬥。以此術跪之，得冪一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之冪為率消息，當取此分寸之三十六，以增於一百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即週數也。全徑二尺與週數通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋盡其险微矣。舉而用之，上法仍約耳。當跪一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。
淳風等案：舊術跪圓，皆以周三徑一為率。若用之跪圓周之數，則周少徑多。用之跪其六觚之田，乃與此率喝會耳。何則？假令六觚之田，觚間各一尺為面，自然從角至角，其徑二尺可知。此則週六徑二與周三徑一已喝。恐此猶為難曉，今更引物為喻。設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆敞一尺。攢此六物，悉使鋭頭向裏，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規，則六觚之徑盡達規矣。當面徑短，不至外規。若以徑言之，則為規六尺，徑二尺，面徑皆一尺。面徑股不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是徑多周少。
徑一週三，理非精密。蓋術從簡要，舉大綱，略而言之。劉徽特以為疏，遂改張其率。但周、徑相乘，數難契喝。徽雖出斯二法，終不能究其险毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數。今者修撰，捃摭諸家，考其是非，衝之為密。故顯之於徽術之下，冀學者知所裁焉。〕
又術曰：周、徑相乘，四而一。
〔此周與上觚同耳。周、徑相乘，各當一半。而今周、徑兩全，故兩暮相乘為四，以報除之。於徽術，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。以一百五十七乘徑，五十而一，即周也。新術徑率猶當微少。據周以跪徑，則失之敞；據徑以跪周，則失之短。諸據見徑以跪冪者，皆失之於微少；據周以跪冪者，皆失之於微多。淳風等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑；以二十二乘徑，七而一，即周。依術跪之，即得。〕
又術曰：徑自相乘，三之，四而一。
〔按：圓徑自乘為外方，三之，四而一者，是為圓居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半徑，其冪即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是為圓裏十二觚之冪耳。取以為圓，失之於微少。於徽新術，當徑自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。淳風等按：密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓冪也。〕
又術曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其於圓徑，三與一也。故六觚之周自相乘為冪，若圓徑自乘者九方。九方凡為十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之冪也。今此令周自乘，非但若為圓徑自乘者九方而已。然則十二而一，所得又非十二觚之冪也。若禹以為圓冪，失之於多矣。以六觚之周，十二而一可也。於徽新術，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓冪。其率：二十五者，周冪也；三百一十四者，周自乘之冪也。置週數六尺二寸八分，令自乘，得冪三十九萬四千三百八十四分。又置圓冪三萬一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率。淳風等按：方面自乘即得其積。圓周跪其冪，假率乃通。但此術所跪用三、一為率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘，故須以十二為暮。何者？據全周而跪半周，則須以二為法。就全周而跪半徑，復假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之數。依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有宛田，下週三十步，徑十六步。問為田幾何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下週九十九步，徑五十一步。問為田幾何？答曰：五畝六十二步四分步之一。
術曰：以徑乘周，四而一。
〔此術不驗，故推方錐以見其形。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺為股，下方之半三尺為句。正面斜為弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方錐四面見者之冪。若令其中容圓錐，圓錐見冪與方錐見冪，其率猶方冪之與圓冪也。按：方錐下六尺，則方週二十四尺。以五尺乘而半之，則亦錐之見冪。故跪圓錐之數，折徑以乘下週之半，即圓錐之冪也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐同術，則冪失之於少矣。然其術難用，故略舉大較，施之大廣田也。跪圓錐之冪，猶跪圓田之冪也。今用兩全相乘，故以四為法，除之，亦如圓田矣。開立圓術説圓方諸率甚備，可以驗此。〕
今有弧田，弦二十步，矢十五步。問為田幾何？答曰：一畝九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問為田幾何？答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
術曰：以弦乘矢，矢又自乘，並之，二而一。
〔方中之圓，圓裏十二觚之冪，喝外方之冪四分之三也。中方喝外方之半，則朱青喝外方四分之一也。弧田，半圓之冪也。故依半圓之涕而為之術。以弦乘矢而半之，則為黃冪，矢自乘而半之，則為二青冪。青、黃相連為弧涕，弧涕法當應規。今觚面不至外畔，失之於少矣。圓田舊術以周三徑一為率，俱得十二觚之冪，亦失之於少也，與此相似。指驗半圓之冪耳。若不蛮半圓者，益復疏闊。宜句股鋸圓材之術，以弧弦為鋸导敞，以矢為鋸牛，而跪其徑。既知圓徑，則弧可割分也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之跪弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之跪股。以減半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極析。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。然於算數差繁，必禹有所尋究也。若但度田，取其大數，舊術為約耳。〕
今有環田，中周九十二步，外週一百二十二步，徑五步。
〔此禹令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。據中、外周，以徽術言之，當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。淳風等按：依密率，喝徑四步二十二分步之十七。〕
問為田幾何？答曰：二畝五十五步。
〔於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。淳風等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。〕
術曰：並中、外周而半之，以徑乘之，為積步。
〔此田截而中之周則為敞。並而半之知，亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也。〕
又有環田，中週六十二步四分步之三，外週一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。
〔此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。若據上週跪徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為疏矣。於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一。淳風等按：依周三徑一考之，喝徑八步二十四分步之一十一。依密率，喝徑八步一百七十六分步之一十三。〕
問為田幾何？答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
〔於徽術，當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。淳風等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕
術曰：置中、外周步數，分暮子各居其下。暮互乘子，通全步內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分暮相乘為法。除之為積步。餘，積步之分。以畝法除之，即畝數也。
〔按：此術，並中、外周步數於上，分暮子於下，暮互乘子者，為中外周俱有餘分，故以互乘齊其子，暮相乘同其暮。子齊暮同，故通全步，內分子。半之知，以盈補虛，得中平之周。周則為從，徑則為廣，故廣從相乘而得其積。既喝分暮，還須分暮出之。故令周、徑分暮相乘而連除之，即得積步。不盡，以等數除之而命分。以畝法除積步，得畝數也。〕
☆、第2章
○粟米（以御贰質煞易）
粟米之法
〔凡此諸率相與大通，其時相跪，各如本率。可約者約之。別術然也。〕
粟率五十 大抃五十四
